本文介绍如何将模糊图片变清楚的相关算法原理。因水平有限，文中出现错误在所难免，希望留言指出。
作为图像处理的子领域，模糊图像恢复是一个很有意思但也非常有挑战性的研究方向。不论是从理论还是实践中，都是如此。比如下面这些场景：
- 照片洗出来后，发现对焦不准，细节看不清楚
- 按快门时，相机有抖滑，拍出的照片有运动模糊
都将是本文要讨论的范围。在此文中，我们不讨论如何修正其它常规图像问题（如：噪点，曝光不足，过曝，形变扭曲）。因为市面上已经有很多工具用来纠正它们。大家多半也都会用这些工具。
为什么目前还没有工具发明出来，以专门用来处理模糊图像呢（锐化不算）？是不是因为无法做到？其实不然，在理论上这其实是可行的。远在计算机发明之前，关于去模糊的数学理论就已经被提出了。不过当时针对是电路信号中的“模糊”问题。此外，就像其它学科一样，算法从提出到实际应用需要相当长的一段时间。
下图展示了模糊图片处理恢复后的效果:
模糊图像数学模型
现在开始从数学角度谈模糊。考虑一张单色灰度图像（彩色图像可以看成由三张R,G,B通道的灰度图叠加），我们定义：
- f(x, y) – 原始图像 （非模糊的）
- h(x, y) – 模糊函数
- n(x, y) – 额外噪点
- g(x, y) – 模糊后的图像
各种情况下，模糊图像的产生过程可以写成如下形式：
g(x, y) = h(x, y) * f(x, y) + n(x, y)
相应的，图像恢复本质上就是寻找一个f'(x, y), 并使f'(x, y)尽可能的符合原始图像f(x, y)。更进一步的看，公式中f(x, y), n(x, y), g(x, y)的含义都是很容易理解的，但h(x, y)就并非那么直观了。以相机模糊为例，原始图像上的每个点都被镜头散射到底片的一小片区域，不再是一个点了。可以想像出，底片上的一个点，都将由邻近区域的点叠加而成的。由于互相重叠，我们看到的图像就被“模糊”了。术语PSF(Point Spread Function， 有时也叫kernel)用来描述单个像素点被模糊后在底片上的图像形状。
PSF (Point Spread Function)
来看一个PSF的实例：
这是高斯模糊函数的PSF: Matlab fspecial(‘gaussian’, 30, 8)
额外说明一下，高斯函数有一个很重要的属性：高斯函数经过傅立叶变换后，依旧是个高斯函数。这让它比较容易作数学变换处理。某些转换操作中的计算损失比较小。
动态模糊的PSF: Matlab fspecial(‘motion’, 40, 45)
将针对单个像素点的PSF应用到整张图像上的数学过程叫：卷积(convoluion). 数学符号通常写做* (注意：和乘法写法相同，但不要搞混）。 从数学上看，对长宽为（M，N）的图像f而言，经PSF模糊函数h后，生成的卷积结果为
其中，a = (M-1)/2, b = (N-1)/2。卷积的逆过程叫去卷积。去卷积很不常用，数学上用的很少。
卷积计算
卷积计算是很极其消耗CPU的。即使针对现代电脑而言，计算负担也重的无法接受。因此有必要使用一种数学工具用来快速计算卷积。离散傅立叶变换就是这个工具。离散傅立叶变换可将二维图像转成傅立叶空间中的图像，二维中的卷积转成傅立叶空间中的普通乘法。
可以看出，我们先前提到的模糊卷积过程可以写成
后面，我们在傅立叶空间中继续讨论模糊恢复。
去卷积的尝试
之前说过，卷积的逆过程叫去卷积。那么也许我们可以这样用除法计算，来得到恢复后的图像 F^(u, v)
除法是乘法的简单逆运算，但是它恐怕不能像我们预想的那样产生效果。为了理解这个问题，让我们观察方程底部的H(u, v)。如果H(u,v)的值很接近零或者等于零（实际中是必然的），除法将产生一个巨大的无效数值。这个数值将淹没掉正常图像像素值。
以这张图像为例,
转成灰度图，并转入到傅立叶空间后图像如下
左边的是振幅图，右边的是相位图。这里就不详细介绍傅立叶变换了。大家需要知道的知识是，振幅图中数值落差巨大，从图像中心到四个角，数值从百万数量级很快就降至零位。因此，当图像中还含有噪点N(u,v)时，经普通除法运算，这些噪点也会被成百万倍的放大。比如：
噪点比例=0.0000001 噪点比例=0.000005
结论是，如果用除法来做去卷积运算，只要混入一点点噪音，处理结果就被噪声全淹没了。
成熟的去卷积算法
1942年，维纳(Wiener)提出了以他命名的维纳去卷积。这个算法一开始是被设计用来恢复模拟电路信号，稍转变后，其同样适用于图像处理。
式中Sn / Sf也可写做一个常数K, 可近似认为是信噪比。从式中可看出，即使H(u,v)逼近零，结果也不会变得无穷大。除维纳去卷积外，还有其它方法可以用。这里不一一介绍，有兴趣的朋友可以看这本书:<<反卷积和信号复原>>
还有一个更常用的方法叫Richardson-Lucy (简称RL方法）。这个方法是由两位分别独门提出的，所以命名看起来怪怪的。这个方法的思路是迭代计算。
u(t)为期望的原始图像，d是模糊图像，p是PSF, ^p是PSF旋转180度。每迭代计算一次，u(t)就更清晰了一点。不过这个方法也有以下问题：
- 迭代不收敛. 必须要在适合的时候停止迭代，不然继续迭代下去没有用处
- 对噪音有放大作用
目前，实际广泛使用的一般是基于RL的改进版本。
这类去卷积方法需要提供PSF函数。也就是说，你需要知道详细的模糊参数。而这通常是很困难的。比如，从下面两个实际镜头的模糊PSF函数就可以看出, PSF函数是非常不规则的。
基本上，我们只有做实验才能提供出精细PSF函数曲线。这类实验，也只被用于大型设备调教镜头成像细节（如医学CT)。再讲个小故事。当年，哈勃望远镜发射至太空轨道后，大家发现：哎呀，照出来的星系咋这么模糊呢。一调查，发现造主镜的工厂没考虑到地球引力对镜片的弯曲作曲。结果，到了太空后，没有地球引力，镜片微微翘起了一根头发的1/50的距离。但这足以让对焦不准了。咋办呀，大家赶快算理论做实验，很快把这个模糊的PSF函数给搞出来，于是处理一下，效果也还行。当然，哈勃那帮人钱多的是，不满足于软件修复，根据PSF又反造了一块补偿镜放主镜前面。（你要是搞天文摄影的，也可以算算自己的爱机镜头的PSF，咱最起码可以用软件补偿呗。在星图全黑背景上，一颗亮星的成像可以看作镜头的PSF.）。
哈勃补偿前与补偿后成像效果比较。右图是哈勃PSF函数。
盲去卷积 （Blind Deconvolution )
对我们普通人，根本不可能去自己构造PSF函数，比较实用的方法就是让程序自己搜索PSF。这种方法叫盲去卷积(Blind Deconvolution)
2014/6/7更新 (其余待续…)
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